Выделение сингулярных особенностей в пространственных задачах транспортной логистики

Лебедев Павел Дмитриевич – ФГБУН Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН (Екатеринбург, Россия), Успенский Александр Александрович – ФГБУН Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН; АНО ВО «Гуманитарный университет» (Екатеринбург, Россия).
Год: 2025
УДК: 656.02:514.1
Страницы: 7–13
Язык: русский
Раздел: Экономика
Ключевые слова: функция затрат, оптимальная траектория, проекция, евклидово расстояние, множество симметрии, биссектриса, рассеивающая поверхность
Аннотация
Исследуется задача о построении оптимального маршрута в трехмерном пространстве до целевого множества, которое представляет собой объект нетривиальной геометрии. Разработаны алгоритмы построения слоев с заданными значениями функции затрат на перемещение динамического тела (аппарата) до целевого множества. При этом предполагается, что динамическое тело перемещается на значительные расстояния и его размерами допустимо пренебречь, что позволяет моделировать это тело в виде материальной точки. Описано сингулярное множество – биссектриса, на которой функция затрат теряет гладкость. Биссектриса состоит из особых точек – из каждой точки биссектрисы исходит не одна, а несколько оптимальных траекторий. Получены необходимые и достаточные условия того, что некоторый отрезок является оптимальной траекторией. Выведены формулы крайних точек сингулярного множества в терминах кривизны поверхности целевого множества. Приведен пример построения поверхностей уровня функции затрат на основе выделения биссектрисы.
Cписок литературы:
  • 1. Айзекс Р. Дифференциальные игры / пер. с англ. В. И. Аркина и Э. Н. Симаковой ; под ред. М. И. Зеликина ; с предисл. Л. С. Понтрягина. М. : Мир, 1967. 480 с.
  • 2. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия : учебник. 2-е изд., исправл. СПб. : БХВ-Петербург, 2010. 624 с
  • 3. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М. : ФАЗИС, 1996. х + 334 с. (Библиотека математика. Вып. 1).
  • 4. Кружков С. Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона – Якоби типа эйконала. I. Постановка задач, теоремы существования, единственности и устойчивости, некоторые свойства решений // Математический сборник. 1975. Т. 98 (140), № 3 (11). С. 450–493.
  • 5. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Применение множеств симметрии в задачах транспортной логистики // Вестник Гуманитарного университета. 2023. № 2 (41). С. 31–36.
  • 6. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № RU 2022666810 Российская Федерация. Программа построения решения задачи быстродействия в трехмерном пространстве с шаровой вектограммой скоро стей и невыпуклым целевым множеством : № 2022666123 : заявл. 02.09.2022 : опубл. 07.09.2022, Бюл. № 9 / Лебедев П. Д., Успенский А. А. ; заявитель ФГБУН Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН. 1 с.
  • 7. Лейхтвейс К. Выпуклые множества / пер. с нем. В. А. Залгаллера, Т. В. Хачатуровой ; под ред. В. А. Залгаллера. М. : Наука, 1985. 335 с.
  • 8. Неруш Ю. М. Саркисов С. В. Транспортная логистика : учебник для вузов. 2-е изд. М. : Юрайт, 2025. 301 с.
  • 9. Успенский A. А., Лебедев П. Д. Построение сингулярного множества функции оптимального результата в классе пространственных задач управления по быстродействию: случай целевого множества с положительной гауссовой кривизной границы // Сибирские электронные математические известия. 2024. Т. 21, № 1. C. 513–525. DOI 10.33048/semi.2024.21.037.
  • 10. Успенский А. А., Лебедев П. Д. О структуре сингулярного множества решения в одном классе пространственных задач управления по быстродействию // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2021. Т. 31, вып. 3. С. 471–486.
  • 11. Sotomayor J., Siersma D., Garcia R. Curvatures of Conflict Surfaces in Euclidean 3-Space // Geometry and topology of caustics : Proceedings of the Banach Center symposium, Warsaw, Poland, June 15-27, 1998 / ed. by S. Janeczko et al. Warsaw : Polish Academy of Sciences, Institute of Mathematics, 1999. Vol. 50. P. 277–285. DOI 10.4064/-50-1-277-285.
Лицензия: